|
Da jeg læste Bertrand Russels ”Vestens filosofi”,
støtte jeg på en gåde, som syntes uløselig.
Han stillede spørgsmålet: Hvilken mængde er størst,
dvs. indeholder flest elementer ? Mængden af de naturlige tal
eller mængden af de lige tal ?
De naturlige tal er dem vi tæller med: 1,2,3,4,… osv. Og
de lige tal er de tal, som kan deles med to: 2,4,6,8,… osv.
På den ene side kan man sige, at begge mængder er uendeligt
store, idet man for begge talrækkers vedkommende ka blive ved
med at tælle i en uendelighed. Begge mængder er uendeligt
store og derfor lige store. Yderligere kan man hævde, at det f.eks.
lader sig gøre at nummerere hvert af de lige tal med et naturligt
tal. I mængden af lige tal er tallet 2 det første og får
derfor nummeret ”1”, tallet 4 er det andet, og får
derfor nummeret ”2” og så fremdeles:
Mængden af
lige tal: 2,4,6,…
Tallets nummer: 1,2,3,…
Dette taler altså
også for at mængderne må være lige store.
I modstrid med det
ovennævnte er dog, at der i mellem hvert lige tal er et ulige
naturligt tal. Man skulle derfor formode, at der må være
næsten dobbelt så mange naturlige tal som lige tal. F.eks.
i mængden af lige tal fra: 2,…,8 er der således fire
tal, mens der i mængden af naturlige tal fra 2,…,8 er tallene:
2,3,4,5,6,7,8 altså syv tal og næsten dobbelt så mange.
I enhver afgrænset mængde, vil der derfor indenfor samme
interval være næsten dobbelt så mange naturlige som
lige tal. Hvorfor skulle dette ikke også være tilfældet,
hvis vi lod mængderne fortsætte i det uendelige ?
Efter min bedste overbevisning er den rigtige løsning på
gåden, at der ikke kan gives noget meningsfuldt svar på
spørgsmålet. Spørgsmålet er forkert, eller
et ”vrøvle-spørgsmål”, svarende til
spørgsmål som: Hvad er højest: Runde tårn
eller et torden skrald ? eller Hvordan lyder farven gul ? Vi står
med andre ord overfor et semantisk problem.
Spørgsmålet kan ikke meningsfuldt stilles, da prædikaterne:
større end, mindre end eller ligeså stor kun meningsfuldt
kan tilskrives tællelige mængder. Dvs. mængder af
afgrænset størrelse. I det øjeblik vi indfører
begrebet ”uendelig” er vi ude over det tælleliges
område.
En mængde der fortsætter i det uendelige er hverken i praksis
eller principielt tællelig. Dette impliceres sådan set af
begrebet uendelig. I matematikken må gælde, at begreberne
større end, mindre end eller lige så stor kun kan anvendes
mellem kvantificerbare størrelser.
|